SECUNDARIA

Ejemplos de aritmética
Ejemplos de geometría
Ejemplos de álgebra
Ejemplos de sucesiones
Ejemplos de estrategia
Ejemplos de demostraciones
Finales regionales
Finales provinciales

PRIMARIA

Ejemplos de problemas
Finales provinciales
Otros problemas

I Olimpiada Regional. Villarrobledo 2000

FINAL 12/14 - Problema nº1 - Llegar a 100

Dos personas van eligiendo por turnos números entre el 1 y el 10, ambos inclusive y lo van sumando al número que ha dicho el anterior. El primer jugador que consigue llegar exactamente a 100 es el ganador. ¿Tiene ventaja el que dice el primer número o el segundo?
Trata de encontrar la estrategia ganadora.
Cambia la meta (en lugar de 100, que sea otro número cualquiera) y el intervalo (del 1 al 8, del 1 al 12, etc.). ¿Puedes decir cómo ganar siempre?.
¿Cómo jugar si ahora el que llega a 100 es el que pierde?.¿Podrías encontrar alguna solución general para ganar siempre al decir el último número? ¿Y para ganar forzando a que el otro diga el último número?.

final 12/14 - Problema nº2 - Números invertidos

Estudia el conjunto de números que tienen la propiedad de que al ser multiplicados por 9 invierten el orden de sus dígitos. Cuando hayas encontrado la ley que forma este conjunto, trata de hallar los números cuyos dígitos se invierten al multiplicar por 4.

final 12/14 - Problema nº3 - Circunferencias rodantes

Tenemos tres circunferencias iguales, de radio 2 metros, que se están tocando como nos indica la figura. Movemos las circunferencias A y B alrededor de C, sin despegarlas, hasta que vuelven a tocarse. ¿Sabrías decir cuantos metros ha recorrido el centro de la circunferencia A?. ¿Y si únicamente se mueve A?

FINAL 14/16 - Problema nº1 - Escalera mecánica

La escalera mecánica de unos grandes almacenes se pone en marcha al tiempo que Luis y su hijo Antonio comienzan a bajar por ella. Luis baja escalones al doble de velocidad que lo hace su hijo y llega abajo en primer lugar. Ha tenido que bajar por su pie 27 escalones en total, mientras que Antonio únicamente ha bajado por su propio pie un total de 18 escalones. Cuando la escalera se pare ¿cuántos escalones tendrá a la vista?.

final 14/16 - Problema nº2 - El hotel de los lios

Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Todas ellas están abiertas. Pero llega alguien y comenzando desde el principio las cierra ordenadamente de 2 en 2, la 2, la 4, la 6, etc. Contento de su hazaña se va a dormir. Pero otro viene después que decide cambiar la posición de las puertas de 3 en 3; empieza también por el principio y yendo de 3 en 3 la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha hecho se va a dormir. Sin embargo otro viene después y comenzando también desde el principio, va cambiando la posición de las puertas de 4 en 4; de manera que la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Cuando termina, viene otro que altera la posición de las puertas de 5 en 5; abre las cerradas y cierra las abiertas. Y luego otro que hace lo propio, pero de 6 en 6. Y luego otro de 7 en 7. Y así hasta el infinito, porque en el hotel había infinitos bromistas.

Tú, que eres el conserje del hotel, estás durmiendo tan tranquilo y no te has enterado de todos estos líos. ¿Qué puertas crees que estarán abiertas y qué puertas estarán cerradas cuando te despiertes por la mañana?.

final 14/16 - Problema nº3 - La alfombra

Tres hermanas heredan una alfombra cuadrada de gran valor material y sentimental, por ser un recuerdo de familia. Como ninguna de ellas quiere quedarse sin alfombra, se proponen cortarla y obtener tres alfombritas. ¿Cómo han de cortar la alfombra para conseguir sus propósitos?.

Piensa en distintos niveles de solución:
1. Que las tres alfombras sean iguales.
2. Que sean cuadradas.
3. Que sean iguales y cuadradas.
4. ¿Y si fuesen 5 hermanas?. ¿Y si fuesen 7 u otro número de hermanas?..

II Olimpiada Regional. Toledo. 2001

Problema 1 (12-14) - Hexagonitis
Se tiene un hexágono regular en el plano.
Operación 1: Se rodea con hexágonos iguales a él alrededor. Hay 1 + 6=7 hexágonos.

Operación 2: Se rodea esta estructura con hexágonos iguales. Ahora hay 1+6+2x 6=19 hexágonos. Se repite esta operación.
· ¿Cuántos hexágonos hay después de la operación 4?
· ¿Puedes decir cuántos hay después de la operación 100?.
· ¿Cuántos hay después de la operación n?

Después de la operación n, queremos poner dos pesetas en cada vértice de orden 2 (es decir donde se corten dos aristas), y tres en cada uno de orden 3. ¿Cuántas pesetas en total necesitamos?

Problema 2 (12-14) - Correa y Rodillos

La correa de una máquina pasa a través de unos rodillos como indica la figura de manera que une el rodillo A y el C, siendo las circunferencias A, B, C y D iguales y tangentes entre sí y tangentes a los lados del cuadrado (ver la figura adjunta en la que la correa corresponde al trazo más grueso). Si sabemos que la longitud del lado del cuadrado es de 1 decímetro, calcula la longitud de la correa. Justifica tu respuesta.

Problema 3 (12-14) - Representación Olímpica

La representación olímpica de un país puede desfilar de tres en tres y queda por delante el que lleva la bandera. Lo mismo pasa si desfilan de cuatro en cuatro o si desfilan de cinco en cinco. ¿Cuántas personas la componen?
La representación de otro país intenta lo mismo, pero ahora de tres en tres quedan dos sueltos, de cuatro en cuatro les sobran tres y de cinco en cinco les sobran cuatro. ¿Cuántos miembros la componen?
La representación española tiene menos suerte. De tres en tres sobran dos, de cuatro en cuatro sobran tres y de cinco en cinco sobran tres, pero el número de atletas es mayor que el de los otros dos países. ¿Cuántos son?
Los dos primeros casos admiten estrategias particulares que no valen para el tercero, aunque la idea general es parecida. ¿Cómo los has pensado?

Problema 1 (14-16) - Curiosa Propiedad

Los números 46 y 96 tienen una curiosa propiedad: su producto no se altera aunque cambiemos de orden las cifras que los componen:

46*96 = 64*69

Sabemos que existen otros números de dos cifras con idéntica propiedad.
· ¿Cómo averiguar si existen más números de dos cifras con idéntica propiedad?.
¿Puedes encontrar alguna regla general?. Escríbela si la encuentras.

Problema 2 (14-16) - La Servilleta

Una servilleta cuadrada de 15 cm de lado, tiene dibujadas cuatro círculos A, B, C y D iguales y tangentes entre sí y tangentes a los lados (según la figura adjunta). Si al azar, una gota de aceite ha caído sobre ella, ¿con qué probabilidad caerá dentro de alguno de ellos?. Justifica tu respuesta.

Problema 3 (14-16) - Cogiendo fichas

Dos jugadores con un montón de siete fichas. El primer jugador divide el montón en dos que deben ser desiguales. A partir de ahí cada jugador divide los montones que queden en dos partes desiguales. (Un montón de cuatro puede dividirse en dos montones de tres y uno, pero un montón de uno o dos resulta "indivisible"). Gana el último jugador capaz de hacer un movimiento reglamentario.

¿Quién ganará?. ¿Puedes encontrar una estrategia para ganar siempre?

III Olimpiada Regional. Cuenca.

12-14 - Problema nº1 - NARANJAS Y LADRONES

Escuela del Califa. Córdoba, 355 de la Hégira:

Un ladrón, un cesto de naranjas del mercado robó, y por entre los huertos escapó; al saltar una valla, la mitad más media perdió. Perseguido por un perro, la mitad menos media abandonó. Tropezó en una cuerda, La mitad más media desparramó.

En su guarida, dos docenas guardó. Vosotros, los que buscáis sabiduría, decidnos, ¿cuántas naranjas robó el ladrón?.

12/14 - Problema nº2 - LOS SELLOS DE COLORES

Tres sujetos A, B y C eran lógicos perfectos. Cada uno podía deducir instantáneamente todas las conclusiones de cualquier conjunto de premisas. Cada uno era consciente, además, de que cada uno de los otros era un lógico perfecto. A los tres se les mostraron siete sellos: dos rojos, dos amarillos y tres verdes. A continuación, se les taparon los ojos y a cada uno le fue pegado un sello en la frente; los cuatro sellos restantes se guardaron en un cajón. Cuando se les destaparon los ojos se le preguntó a A:

· ¿Sabe usted un color que con seguridad usted no tenga?

A, respondió:· No.
A la misma pregunta respondió B:· No.

¿Es posible, a partir de esta información, deducir el color del sello de A, o del de B, o del de C?

12/14 - Problema nº3 - CUADRADOS EN EL GEOPLANO

En un geoplano de 5x5 podemos representar numerosos cuadrados, en posiciones diferentes y de diferentes dimensiones.
· Os pedimos que, de forma organizada, nos digáis en primer lugar cuantas dimensiones diferentes podemos representar y después comparad sus superficies.
· A continuación tenéis que decir también para cada uno de estos cuadrados, en cuántas posiciones diferentes se pueden representar.

¿Qué pasaría en un geoplano de 6x6?. ¿Y en geoplanos superiores?

14/16 - Problema nº1 - CAPITANES INTRÉPIDOS

Un capitán de barco recompensa a tres marineros con más de 200 y menos de 300 monedas de oro. Durante la noche, un marinero se despertó y separó las monedas en tres montones iguales, tirando al mar una moneda que sobraba. Cogió un montón y, juntando los otros dos que quedaban, se fue a la cama. Esto mismo hicieron a continuación los otros dos marineros, cada uno de los cuales realizó exactamente la misma operación. A la mañana siguiente el contramaestre reparte lo que queda en tres montones, y se queda con una moneda en pago a su trabajo. ¿Cuántas monedas hay inicialmente?. ¿Cuántas monedas recibe cada uno de los marineros?.

14/16 - Problema nº2 - PLEGANDO PAPEL

Imagínate una tira de papel larga y estrecha, extendida ante ti sobre la mesa, de izquierda a derecha. Coge el extremo derecho y colócalo encima del izquierdo. Ahora aplasta la tira sobre la mesa aplanándola, de manera que quede plegada por la mitad y presente un doblez. Ábrela y observa la marca del pliegue. Después del segundo plegado ves tres marcas: una "hacia arriba" y dos "hacia abajo".

Ahora vamos a suponer que eres capaz de plegar la tira de papel por la mitad seis veces, y luego la desdoblas completamente. Haz una predicción del número total de marcas que habrá. ¿Cuántas de ellas serán "hacia arriba" y cuántas "hacia abajo"?. ¿En qué orden estarán?.

Explica cómo podemos predecir el número total de marcas para 7, 8, 9,..., n pliegues, esto es, generaliza la solución.

14/16 - Problema nº3 - EL CUBOCTAEDRO

Si cortamos las esquinas de un cubo por el punto medio de las aristas concurrentes en un vértice, obtenemos un poliedro que se llama cuboctaedro.

Si la arista del cubo mide 6 cm:
a. Calcular su área.
Calcular su volumen

IV OLIMPIADA REGIONAL GUADALAJARA 2003

Ciclo 12 - 14

12-14 - Problema nº1 - NUMERO 12

El número 12 tiene seis divisores: 1,2,3,4,6 y 12. Cuatro de ellos son pares (2,4,6 y 12) y dos son impares (1 y 3). Halla algunos números cuyos divisores sean todos, excepto el 1, pares. Describe la secuencia de números que tienen esa propiedad. Halla algunos números que tengan exactamente la mitad de sus factores pares. Describe nuevamente la secuencia de números que tienen esa propiedad.

Si puedes, explica en ambos casos por qué es cierto el resultado de tus conclusiones.

12/14 - Problema nº2 - LA CABRA DE JUAN

Mi amigo Juan tiene una casa cuadrada de 10 metros de lado, situada en medio de un extenso campo. También tiene una cabra que pasta por el campo. Para que no se le escape, la ata con una cuerda a una de las esquinas de la casa. Calcula:

1. La superficie en la que puede pastar si la cuerda mide 5 metros.
2. La superficie en la que la cabra puede pastar si la cuerda mide 15 metros.
En la finca de Juan hay un estanque cuya forma es la de un triángulo equilátero de 10 metros de lado. Ata la cabra a una estaca que hay en un vértice del estanque. Calcula:
La superficie en la que puede pastar si la cuerda mide 6 metros.

12/14 - Problema nº3 - JUEGO CON CERILLAS (es un juego para dos jugadores)

Sobre una mesa hay dos montones de cerillas. Cada jugador, por turno, puede coger una cerilla de uno de los montones o una cerilla de cada montón. Pierde el que coge la última cerilla.

Tiene ventaja alguno de los jugadores?. Si es así, ¿cómo debe jugar para ganar siempre?

Ciclo 14 - 16

14/16 - Problema nº1 - CALLES Y FAROLAS

Las calles de un pueblo son líneas rectas y tan largas como necesitemos. En cada cruce de dos calles se pone una farola.
¿Cuál es el número máximo de farolas que podemos necesitar en un pueblo con cualquier número de calles?.

14/16 - Problema nº2 - LAS CAJAS

Recorta un cuadrado de 15 X 15 cm.. Ahora corta un cuadrado de 1 cm de cada esquina. Dobla los lados para hacer una caja abierta. ¿Cuál es la capacidad de esta caja?.
Ahora desdobla el cuadrado y recorta tres cuadrados más de 1 cm por cada esquina, de manera que te quede un cuadrado de 2 X 2 cm en cada una.
Vuelve a doblar los lados como antes. ¿Tiene esta nueva caja más capacidad que la anterior o menos?.
Trata de averiguar de qué tamaño tienes que cortar el cuadrado por cada esquina para conseguir una caja con el máximo de capacidad.

1ª fase 14/16 - Problema nº3 - LAS CARTAS

En una mesa hay cinco cartas
Cada carta tiene, en un lado, un número natural y, en el otro, una letra.
Alicia afirma: Cualquier carta que tenga en un lado una vocal, tiene un número par en el otro lado.
Antonio se convenció de que Alicia decía la verdad dando vuelta a una sola carta. ¿Cuál fue?

V Olimpiada Regional. Albacete 2004

CICLO 12-14

Ciclo 12-14 Problema 1.- TRIANGULITIS

El triángulo de la imagen tiene la propiedad de que el nº que tiene asignado cada triangulito es la suma de los nº asignados a los tres triangulitos que lo rodean. Le llamaremos triángulo sumatorio. Y, como tiene 4 triángulos en cada lado, diremos que es de orden 4.Construye:

1. Otro triángulo sumatorio de orden 3
2. Otro triángulo sumatorio de orden 4 de manera que la suma de todos sus números sea igual a 14
3. Un triángulo sumatorio de orden 5 cuya suma total sea 40.

Ciclo 12-14 Problema 2.- CORPUS HYPERCUBUS

Este año 2004 se cumple el centenario del nacimiento del Genial artista catalán, Salvador Dalí, uno de los máximos exponentes del surrealismo que desarrolló en multitud de facetas: pintura, grabado, orfebrería y decoración.

Los elementos simbólicos-geométricos son evidentes en muchas de sus obras como en la Crucifixión (1954) Metropolitan Museum - Nueva York, también conocido por "CORPUS HYPERCUBUS".

Un hipercubo es un objeto de 4 dimensiones, inimaginable salvo para los matemáticos. Sin embargo su "desarrollo" tridimensional puede verse en este cuadro, formado por ocho cubos unidos por las caras. Como "doblar" este objeto en 4 dimensiones para que se unan entre sí todas las caras es otro cantar.
En el suelo embaldosado vemos su proyección en forma de cruz latina, como una ilustración del paso a dos dimensiones. Este objeto posee unas propiedades de simetría a las que no pudo sustraerse el artista. Suspendido en el espacio cobra un aspecto inmaterial y ultra-terrestre. Este efecto se potencia con el hecho de que Cristo esta flotando inmerso en él, sin sujeción alguna.

· ¿Cuántos ORTOEDROS se pueden formar con los 8 cubos de la cruz hipercúbica de Dali?. ¿Cuál de ellos tiene la mínima área total?. ¿Cuál es el que tiene mayor diagonal?

· ¿Cuántos tetracubos hay (apilaciones de cuatro cubos unidos por sus caras)?. Cuantos de ellos pueden estar incluidos en el hipercubo de Dali.

· ¿Cuántos cubos se necesitan para construir una cruz de dimensiones dobles que el hipercubo de Dalí?. ¿Y triple?

Ciclo 12-14 Problema 3.- CONTANDO MONEDAS

Colocamos trece monedas en círculo, doce de 50 céntimos y una de euro. Empezando por la moneda que se quiera hay que contar 13 y la que caiga en este lugar se eliminará. Volvemos a contar 13 empezando por la siguiente a la que acabamos de retirar y repetimos la misma operación hasta dejar una sola moneda.

· ¿Por qué moneda debemos empezar a contar para que la última que retiremos sea la de euro?.

CICLO 14-16

Ciclo 14-16 Problema 1.- FICHAS ROJAS Y AZULES

En una línea a lo largo del suelo están colocadas 50 fichas rojas y 50 azules alternativamente:

R A R A R A R A ..... R A R A

Permutando fichas consecutivas hay que clasificarlas en dos grupos, con todas las fichas rojas a un lado y todas las azules al otro:

R R R R R R R R ...... R R A A ....... A A A A A A A A A

· ¿Cuál es el menor número de movimientos necesario para hacerlo?.

· ¿Cuántos movimientos se necesitarán para n fichas rojas y n fichas azules?.

· ¿Qué ocurre si hay fichas rojas, azules y verdes colocadas así: R A V R A V R A V R A V ... R A V ?.

· ¿Qué ocurre con cuatro colores?.

· ¿Qué ocurre con m colores?.

Ciclo 14-16 Problema 2.- ENCONTRAR EL TESORO

Un turista de Albacete oyó en una taberna de Bilbao la conversación que mantenían dos individuos:

· Si pudiera encontrar el campo correcto, el tesoro sería mío.
· ¿Cómo procederías?.
· El documento que cayó en mis manos establece claramente que el campo es cuadrado y que el tesoro está enterrado en un punto que dista dos estadios de una de las esquinas del campo, tres estadios de la siguiente esquina y cuatro de la siguiente a esta. En este distrito no hay dos campos cuadrados iguales. Si supiera cuál es el lado del campo en que está enterrado el tesoro podría encontrarlo.
· Pero no sabrías desde que esquina empezar a cavar, ni tampoco qué esquina tomar después.
· Mi querido amigo, no me importaría hacer todas las tentativas necesarias. El tesoro merece la pena.

Trata de indicarnos donde está el tesoro. Prometemos que será todo para ti.

Ciclo 14-16 Problema 3.- EL TAHÚR

Un tahúr se fabricó tres dados cúbicos de diferentes colores. El rojo tenía en sus caras repetidos los números 2, 4 y 9. El azul los números 3, 5 y 7 y el amarillo, los números 1, 6 y 8 (La puntuación que se considera es la que aparece en la cara superior).

La suma total es la misma en los tres dados, aún así, el tahúr cree que si su contrincante es el primero en elegir y lanzar uno de los dados, él puede elegir otro que le dará mayores posibilidades de superar su puntuación.
Explica sus posibles razones.

VI Olimpiada Regional. Ciudad Real 2005

NIVEL 12-14

Ciclo 12-14 Problema 1.-La cuadratura de los cubos

Joselito es un niño que va para matemático porque tiene la manía de cuadrar todo lo que ve.
Tiene muchos bloques de juguete como este:

Los descompone en cubitos y luego los recompone para intentar formar cuadrados.

Por ejemplo, si toma dos bloques la cuadratura le quedaría bien: pero con un solo bloque le queda así:

, y tiene que poner un cubito más para conseguir su objetivo: .

Como Joselito tiene muchos bloques para descomponer, …

¿Sabrías decirme cuántos bloques puede utilizar para conseguir su objetivo y formar cuadrados?. (indica todas las posibilidades)
¿En qué casos le ocurre como en el del ejemplo que hemos visto que le falta 1 cubito para conseguirlo?

Ciclo 12-14 Problema 2.- La carrera

En una carrera, la hormiga Pertinaz va a una velocidad de 1 dm/seg de manera constante. La táctica de la hormiga Veloz es diferente, corre al doble de velocidad que la hormiga Pertinaz, pero cada 9 segundos tiene que parar y descansar durante 11 segundos para poder continuar corriendo.

Quieren hacer una carrera para ver quién llega más lejos en un tiempo determinado. La hormiga Veloz quiere que la duración sea de 50 segundos y la Pertinaz de 100 segundos. Puedes explicar sus razones.

¿Cuál es la máxima distancia en que consigue aventajar la Veloz a la Pertinaz si se decide que la duración es de 80 segundos?.

¿En cuántas ocasiones se produce un adelantamiento entre ellas?.

PERTINAZ: VELOZ:

Ciclo 12-14 Problema 3.-¡El que diga 30 gana!

En un juego con dos jugadores, cada uno elige por turno un número entero entre 1 y 5, y lo suma a los números elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 30 es el ganador.
Veamos una partida:

¡Gana el segundo jugador!

Después de jugar algunas partidas, ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?. ¿Cuál de los dos jugadores crees que tiene más posibilidades de ganar?

NIVEL 14-16

Ciclo 14-16 Problema 1.-La Puerta de Toledo

Ayer fuiste a dar un paseo por Ciudad Real y viste la impresionante Puerta de Toledo, magnífico ejemplo (monumento nacional)
de arquitectura militar del siglo XIV, que como pudiste observar integra arcos de diferentes estilos (ojival, de herradura y gótico). El ojival es el externo en la foto, el más elevado y amplio.

La construcción de este tipo de arcos se realiza mediante la intersección de dos arcos circulares centrados en los puntos laterales inferiores: (mira la figura)

¿Sabrías encontrar el área de todo el arco gótico de la Puerta de Toledo si la altura máxima del arco es de 10 m y la anchura de la base 4 m?

Ciclo 14-16 Problema 2.-¿En qué término medio está la virtud?

En invierno estuve en Basel (Suiza), me compré un libro de Matemáticas y poco a poco lo voy leyendo. El idioma es algo diferente del español, pero como trata de Matemáticas es fácil de entender. En una página encontré unas fórmulas sobre las diversas medias: aritmética, geométrica y armónica y una representación gráfica de las mismas. Pero no explicaba el porqué de dicha representación.

¿Podrías explicarlo tú?.

En concreto, ¿por qué los segmentos que están marcados como que corresponden a las medias aritmética, geométrica y armónica de los valores a y b ?

Fíjate al final lo que dice: . ¿Será cierto siempre?. ¿Serán iguales las tres medias para algunos valores a y b?. Explícalo.

Ciclo 14-16 Problema 3.-El fractal de Koch

Fíjate en los bordes de la siguiente tira de imágenes:

Etapa	1	2	3	4
Polígono
nº lados
Perímetro
Área

A partir de un triángulo de lado 1 m y de área “a”, hemos ido constuyendo otros polígonos de más lados, sustituyendo un lado tipo por un lado tipo .

a) Rellena los cuadros vacíos de la tabla
Supón que continuamos añadiendo más etapas a la tira de imágenes.
b) Calcula en qué etapa se conseguirá un perímetro mayor de 100 m
c) ¿Qué valor máximo esperas que alcance el perímetro?
d) ¿Qué valor máximo esperas que alcance el área?

VII Olimpiada Regional. Toledo 2006

NIVEL 12-14

Ciclo 12-14 Problema 1.- La matrícula del coche.

Dos alumnos participantes en la VII Olimpiada Matemática de Castilla La Mancha, por lo que saben muchas matemáticas, paseando tranquilamente por las calles de Toledo observan un accidente y el coche se da a la fuga. De la matrícula recuerdan las letras, ABC, aunque no las cuatro cifras pero sí saben que las dos primeras eran iguales, las dos últimas también eran iguales y de que el número completo era un cuadrado perfecto. ¿Cómo pudieron reconstruir la matrícula?

Ciclo 12-14 Problema 2.- Cuadrado trisecado.

Dibuja un cuadrado y desde un vértice traza dos líneas, una a cada uno de los lados opuestos al vértice y simétricas respecto de la diagonal del cuadrado. El cuadrado está entonces formado por tres figuras y cada lado opuesto al vértice ha quedado dividido en dos segmentos. ¿Cuál debe ser la razón entre los dos segmentos que forman cada lado para que el área de las tres figuras sea la misma?

Ciclo 12-14 Problema 3.- Jardineras

El Ayuntamiento de Toledo quiere instalar 100 jardineras en hilera y rodearlas con baldosas hexagonales según el modelo de la figura anterior. ¿Cuántas baldosas necesitará el Ayuntamiento?
Busca una fórmula para que el Ayuntamiento pueda calcular el número de baldosas necesarias para un número cualquiera de jardineras.

NIVEL 14-16

Ciclo 14-16 Problema 1.- Uno de triángulos. ¿habrá muchos?

¿Cuántos triángulos diferentes existen, sin tener en cuenta los semejantes, cuyos ángulos sean todos divisores de 360?

Ciclo 14-16 Problema 2.- Una herencia equitativa.

Dos hermanos heredaron un rebaño de ovejas. Las vendieron todas, recibiendo por cada oveja tantos euros como animales tenía el rebaño. La suma total les fue pagada en billetes de diez euros, excepto un resto, de menos de 10 euros, que les fue entregado en monedas de un euro. Repartieron entre ambos los billetes de diez, colocando el fajo en medio de la mesa y cogiendo alternativamente de él un billete cada uno hasta agotarlo.
- Pero eso no es justo - protestó el hermano menor -Tú cogiste el primer billete y ahora acabas de llevarte el último, así que tienes diez euros más que yo.
El mayor dio entonces a su hermano todas las monedas de euro. Pero el hermano pequeño no estaba satisfecho todavía.
- Me has dado menos de 10 euros - dijo -. Todavía me debes dinero.
- Es verdad, - concedió el mayor -. Supongamos que te hago un cheque de forma que las cantidades con que terminemos ambos sean exactamente iguales. ¿Aceptarías?
Y así se hizo. ¿Por qué valor fue extendido el cheque?

Ciclo 14-16 Problema 3.- Tres circunferencias

Dibuja tres circunferencias iguales de tal modo que cada una pase por el centro de las otras dos. Fíjate en el triángulo curvilíneo que representa la parte de la figura común al interior de todas las circunferencias. ¿Es su superficie mayor, menor o igual que un cuarto de la superficie de una de las circunferencias?

VIII OLIMPIADA REGIONAL. CUENCA 2007

Ciclo 12-14. Problema1. Múltiplos de 99.

Encuentra un número de cuatro cifras que verifique las siguientes condiciones:
a) La suma de los cuadrados de las cifras de las centenas y de las unidades es igual a 53.
b) La suma de los cuadrados de las otras dos cifras es igual a 45.
c) Si del número buscado restamos el que se obtiene al invertir sus cifras se obtiene un múltiplo de 99 comprendido entre 1000 y 2000.

Ciclo 12-14. Problema 2. Áreas.

Si el cuadrado tiene 30 cm cuadrados de área y los puntos T, U, V y W dividen a los lados correspondientes en partes iguales ¿Qué área tiene la zona sombreada?

Ciclo 12-14. Problema 3. competición reñida.

Cinco atletas participan en la fase final de una competición que consta de cinco pruebas individuales. En cada una de las cinco pruebas el ganador consigue 5 puntos, el segundo 4, el tercero 3, etc. No hay empates, ni en las pruebas individuales ni en la clasificación final.
Alberto ha quedado ganador con un total de 24 puntos, el segundo clasificado ha sido Bernardo, el tercero Carmen (que ha quedado en la misma posición en 4 de las 5 pruebas), el cuarto clasificado ha sido Juan y por último Pedro (pese a haber ganado en natación y haber quedado tercero en la prueba de tiro). ¿En qué lugar ha quedado Juan en natación?

Ciclo 14-16. Problema 1. El arco conopial.

Aquí tienes una pareja de celosías que se pueden ver en la ciudad de Cuenca. Como puedes ver están formadas por un arco llamado arco conopial equilátero que tiene a su vez otros cuatro arcos huecos en su interior con un cristal detrás. El resto del arco conopial grande está hecho de barro.

Figura1.arco conopial equilátero
El problema consiste en calcular la superficie de la celosía que no tiene cristal.
Para ello descompondremos el problema en otros más simples.
a. Si el lado del triángulo equilátero de la figura 1 vale 1 ¿Cuál es la superficie encerrada por el arco conopial?
Ayudándote de las figuras 2 y 3 resuelve el problema con el dato suministrado en el apartado a.

Ciclo 14-16. Problema 2. Filas de números consecutivos.

Formemos una tabla:

1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……………………………..
………………………………

a) En la fila n-sima,¿ cuál es el último término?
b) Demostrar que la suma de todos los elementos de cualquier fila es el cuadrado de un número impar.
c) ¿ Cuánto suman los elementos de la n-sima fila?

Ciclo 14-16. Problema 3. Vaya lío de reloj.

En este momento mi reloj marca 3 minutos menos de lo debido, aunque se adelanta. Si marcara 6 minutos menos de lo que debe marcar, pero se adelantara al día medio minuto más de lo que se adelanta, marcaría la hora exacta 4 días antes que en la situación actual. ¿Cuántos minutos al día se adelanta mi reloj?