SECUNDARIA

Ejemplos de aritmética
Ejemplos de geometría
Ejemplos de álgebra
Ejemplos de sucesiones
Ejemplos de estrategia
Ejemplos de demostraciones
Finales regionales
Finales provinciales

PRIMARIA

Ejemplos de problemas
Finales provinciales
Otros problemas

Ciclo 12/14
- Problema nº 1: EMPAREJAMIENTOS PERFECTOS
Justificar si es o no posible distribuir todos los números del 1 al 18 inclusive en nueve pares (a,b) de modo tal que a + b sea un cuadrado perfecto.
(Indicación: los cuadrados perfectos que pueden aparecer una o más veces al hacer las sumas son: 22, 32, 42, 52).

- Problema nº 2: DIVISIBILIDAD

Encontrar la suma de todos los números de cuatro cifras que empiezan por 4 y termina por 8:

4   8 y que son divisibles por 2, 3, 4, 6, 8 y 9.

- Problema nº 3: JARDÍN CIRCULAR

Queremos sembrar de césped y vallar la parte sombreada de este jardín circular de 24 m de radio. Sabiendo que el coste de sembrar césped es de 100 €/m 2, y el de la valla es de 50 €/m. Calcular cuanto costara realizar todo el trabajo.

Ciclo 14/16
- Problema nº1: AZULEJOS

Este modelo está formado por azulejos negros y blancos. Su anchura es de siete azulejos. En el Ayuntamiento hay un modelo como éste con una anchura de 149 azulejos. ¿Cuántos azulejos contendrá en total?

- Problema nº2: 2002

Si escribimos todos los números enteros consecutivos, sin ninguna separación entre ellos, a partir del 1 y hasta el 2002, obtenemos un número de muchísimas cifras:

12345678910111213141516171819……….20012002

¿Cuántas cifras tiene ese número?

Está claro que su primera cifra es un 1; también puedes ver que la cifra decimoquinta es un 2. ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar 2002? En ambos casos explica tu razonamiento.

- Problema nº 3: CIRCULOS Y TANGENCIAS
En una circunferencia de radio 6 inscribimos el triángulo isósceles PQR en el que PQ = PR. Una segunda circunferencia es tangente a la 1ª y tangente a la base QR del triángulo en su punto medio, como se muestra en la figura. Si la longitud de PQ es 4 por la raíz cuadrada de 5 . ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia pequeña?

II Olimpiada Provincial de Cuenca. Mayo 2003

Ciclo 12/14 -
Problema nº 1. LA CINTA DE VÍDEO

Una cinta de video puede grabar 2 horas en modo SP, o 4 horas en modo LP, o 6 horas en modo XLP.
Después de grabar 32 minutos en modo SP y 44 minutos en modo LP,¿cuántos minutos pueden grabarse todavía en modo XLP?

Problema nº 2: LA RUEDA CUADRADA

Lo normal es usar ruedas redondas ¿verdad?. Bueno, pues vamos a suponer que se nos ha ocurrido investigar sobre una rueda cuadrada como la de la figura:

A

Fíjate en el vértice A. Si la rueda empieza a dar vueltas, sin deslizarse, dibuja la trayectoria que describe el punto A hasta que vuelve a estar en el suelo.

Calcula la longitud de dicha trayectoria sabiendo que la rueda tiene 1 m. de lado.

- Problema nº 3. NÚMEROS CRECIENTES
Los números de dos o más cifras en los que leídas éstas de izquierda a derecha son cada vez mayores, se conocen como “números crecientes”. Por ejemplo, 125, 14, 239, …son números crecientes pero 255, 74 o 198 no lo son.

Supón que haces una lista de los primeros números crecientes y los ordenas de menor a mayor. ¿Cuál de ellos ocupa el lugar 100 en esa lista?

Ciclo 14/16
Problema nº 1 LOS APRETONES DE MANOS

En una reunión hay 20 personas y todas ellas se saludan con un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de manos contaríamos cuando se hubiesen saludado todos los asistentes a la reunión?

Problema nº2 TRIÁNGULOS

Los dos triángulos rectángulos isósceles de la figura son iguales.
Si la longitud del lado del cuadrado inscrito en la figura de la izquierda es 21 cm, ¿cuál es, en cm, la longitud del lado del cuadrado de la derecha?

Problema nº 3 UN AÑO LARGUÍSIMO

De todos los números naturales cuyas cifras suman 2003 nos quedamos con el menor.

¿Cuáles son su primera, segunda, décima y última cifra contando desde la izquierda

III Olimpiada Provincial de Cuenca. 8 de Mayo de 2004

Ciclo 12/14
- Problema nº 1 PRIMOS Y PRIMOS

A Pepito Pinto le encantan las mates. Últimamente atraviesa una etapa en la que ve números por todas partes. Toni y Tina son dos primos suyos y primos entre sí, que viven en casas vecinas y en la misma acera de la misma calle donde también vive él. Ayer mientras jugaban les dijo Pepito:

“¡Qué cosas primos, vivimos en tres casas cuyos números son primos consecutivos y por si fuera poco el producto de estos tres números no es primo pero es mi número de teléfono!”

Pues bien, sabiendo que el número de teléfono de Pepito tiene seis cifras y termina en uno, ¿sabrías averiguar los números primos de las casas donde viven los tres primos

- Problema nº 2 CINCO RECTÁNGULOS=UN CUADRADO

¿Te cuadra?
Con cinco rectángulos de lados 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 centímetros, y áreas 9 cm2, 16 cm2, 18 cm2, 28 cm2 y 50 cm2, se puede formar un cuadrado de 11 cm de lado.
¿Serías capaz de dibujar los rectángulos y formar con ellos el cuadrado?

Problema nº 3 LA ESCULTURA

Un escultor forma con 14 cubos de 1m. de lado una figura piramidal, como el dibujo, que decide pintar una vez montada.

a. Determina los m2 de superficie que ha de pintar.
b. ¿Y si se añadiese un nuevo piso?¿Cuál sería la superficie a pintar en la escultura de cuatro pisos?
c. ¿Sabrías generalizar la solución diciendo lo que ocurriría para una escultura de, por ejemplo, 187 pisos?

III Olimpiada Provincial de Cuenca. 8 de Mayo de 2004

Ciclo 14/16 -
Problema nº 1 PLANTEANDO ECUACIONES

Al multiplicar dos números, tales que uno de ellos es diez unidades mayor que el otro, el alumno cometió un error, por lo que la cifra de las decenas quedó disminuida en cuatro en el resultado obtenido. Al dividir (para comprobar el resultado) la solución obtenida (que era errónea) entre el menor de los números, el alumno obtuvo 39 en el cociente 22 en el resto.

¿Qué dos números debía multiplicar?

Problema nº 2 LAS LÚNULAS DE HIPÓCRATES DE QUÍOS

Hipócrates de Quíos, contemporáneo de Pericles (siglo V a.c), no pudo cuadrar el círculo, pero llegó a cuadrar cierto tipo de lúnulas como las de la figura, comparando sus áreas con las de los triángulos rectángulos.

Justifica que el área de la parte sombreada es siempre igual a la suma de las áreas de las lúnulas 1 y 2, tras probar que el área del semicírculo sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los semicírculos sobre los catetos.

IV OLIMPIADA MATEMÁTICA PROVINCIAL DE CUENCA 9 de Mayo de 2005

Ciclo 12/14

Problema nº 1 LLEGADA DE SANCHO A LA ÍNSULA BARATARIA: ACERTIJO NUMÉRICO

Recién llegado Sancho fue conducido a la iglesia, y de ésta al juzgado, donde lo sentaron en la silla del juez, y el mayordomo del duque le dijo:

- Es costumbre antigua en esta famosa ínsula que el nuevo gobernador responda a una pregunta dificultosa, a vos os ha correspondido la siguiente:

¿Sabríais hallar razonadamente todos los conjuntos de tres elementos a, b, c suponiendo que a, b, c no tienen que ser necesariamente distintos y que deben cumplir las siguientes condiciones?

1) Los elementos a, b, c, en base 10 son dígitos y números primos.

2) Todos los números de dos cifras, colocadas en cualquier orden, que pueden escribirse con a, b, c, son números primos.

3) Todos los números de tres cifras, colocadas en cualquier orden, que pueden escribirse con a, b y c son números primos.

NOTA: El número 1 sólo para este problema se considerará primo

Ayuda a Sancho a responder a la pregunta del mayordomo.

Problema nº 2 ¿LE AYUDAS A DECIDIR?

La princesa Micomicona está reformando su palacio. Ahora le toca embaldosar un cuarto de baño.Le gustan dos tipos de losetas y sólo tiene la información que ves aquí.

Ella no sabe nada de geometría, pero seguro que tú le puedes ayudar: Si te digo que cada loseta del primer tipo cuesta 0’50 €, cada loseta del segundo tipo 0,80 € y el baño tiene 4m2. ¿Cuál de ellas le recomendarías para que la obra resulte más barata?

Problema nº 3 CAMINO DEL TOBOSO

Se dirigían un día don Quijote y Sancho Panza hacia el Toboso por el camino real.

En el camino, se detuvieron en una venta donde hallaron a cuatro cabreros que pasaban la tarde jugando a las cartas. Acordaron los cuatro cabreros que cada vez que uno perdiera, le pagaría a los demás una cantidad igual al dinero que cada uno tuviese sobre la mesa. Los cabreros jugaron en total 4 manos y cada uno perdió una vez. Al final de la partida, todos tenían 16 maravedíes.

“¿Cuánto dinero tenía cada cabrero al empezar la partida, Sancho?” – le inquirió don Quijote.

Ciclo 14/16

Problema nº1 UNA CAJA ESPECIAL PARA DULCINEA

Don Quijote quiere regalar bombones a Dulcinea y ha pensado hacer una caja cúbica de 12cm de arista con las caras agujereadas por cuadrados de 8cm de lado. ¿Cuánto cartón le hará falta? ¿Cuántos bombones esféricos de 1cm de radio cabrán en la caja (dentro del “esqueleto” de cartón)?

Problema nº 2 LAS VELAS

Una noche que Don Quijote no podía dormir se levantó y como tenía por costumbre cuando esto sucedía se dispuso a leer el Amadís de Gaula. Encendió dos velas y comenzó a leer. Cuando se hizo de día apagó las velas y observó que una de ellas se había quedado cuatro veces más larga que la otra. Se preguntó entonces cuánto tiempo habría estado leyendo. No pudiendo dar con la respuesta decidió consultar a Sancho y éste le dijo: “Señor, está claro, ¿no se acuerda que nos dijeron al comprar las velas que una estaba previsto que durara cinco horas y la otra cuatro horas?”

Este comentario de Sancho permitió a Don Quijote averiguar cuánto tiempo había estado leyendo. ¿Sabrías averiguarlo tú?

Problema nº 3 CAMINO DEL TOBOSO

Se dirigían un día don Quijote y Sancho Panza hacia el Toboso por el camino real.

En el camino, se detuvieron en una venta donde hallaron a cuatro cabreros que pasaban la tarde jugando a las cartas. Acordaron los cuatro cabreros que cada vez que uno perdiera, le pagaría a los demás una cantidad igual al dinero que cada uno tuviese sobre la mesa. Los cabreros jugaron en total 4 manos y cada uno perdió una vez. Al final de la partida, todos tenían la misma cantidad de maravedíes.

“Me pregunto amigo Sancho, si algún cabrero ha salido ganando dinero de este juego” – dijo don Quijote.

¿Podrías dar la respuesta al hidalgo?

V OLIMPIADA MATEMÁTICA PROVINCIAL DE CUENCA 6 de Mayo de 2006

Ciclo 14/16

Problema nº1 LA CERCA

Un caballo está atado con una cuerda de 3 metros a una esquina de un cercado que tiene forma de hexágono regular de lado 1 m. ¿Cuál es la superficie que tiene el caballo para moverse?
El dueño piensa que daría más libertad al caballo si fuera capaz de inventar un procedimiento para fijar una barra alrededor de la cerca pues de ese modo podría colgar de ella una argolla y atar ahí la cuerda. La argolla quedaría libre para girar, sin interrupciones, alrededor de la cerca. No te vamos a pedir aquí que nos digas qué tiene que hacer el dueño para conseguir su propósito pero sí nos podrías decir qué superficie tendrá el caballo para moverse si el dueño lo consigue.

Ciclo 14/16
Problema nº2 PLATÓN EN LAS VEGAS

A los griegos les fascinaba que solamente existieran cinco poliedros regulares. Tanto que Platón identificó cada uno de ellos con un elemento de la Naturaleza. Así el tetraedro estaba asociado con el fuego, el cubo con la tierra, el octaedro con el aire, el icosaedro con el agua y el dodecaedro con el orden del universo. Es por ello que a estos cinco poliedros se les conoce también como sólidos platónicos.

Cierto día Platón decidió irse a las Vegas “a probar suerte” con sus conocimientos matemáticos. Entró en un casino y comenzó apostando en el siguiente juego: “Al lanzar 3 dados cúbicos sumamos los tres resultados obtenidos. El que acierte la suma exacta gana” ¿A qué número apostó Platón? ¿Y si los dados hubieran sido tetraédricos? Averigua qué hubiera pasado en los otros tres casos restantes (con dados octaédricos, dodecaédricos e icosaédricos).

Ciclo 14/16
Problema nº3 TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

Los alumnos se quejaban cada vez que la profesora de Matemáticas repetía lo explicado, hasta que un día les propuso lo siguiente: “Voy a demostraros que en las repeticiones se esconden algunas figuras muy bellas y curiosas. Dibujad en vuestros cuadernos un triángulo equilátero. Unid los puntos medios de cada lado y eliminad del dibujo el triángulo central obtenido. Repetid el proceso con los tres nuevos triángulos que habéis obtenido. Volved a repetir todo con los nuevos triángulos.” De este modo los alumnos iban obteniendo en cada paso las siguientes figuras:



Si pudiéramos repetir este proceso infinitas veces habríamos logrado construir el fractal conocido como triángulo de Sierpinski.
¿Cuántos triángulos blancos quedan en la cuarta repetición (una después de la última que te damos)? ¿Cuánto suman sus perímetros? ¿Y sus áreas?
Responde a las preguntas anteriores para la décima repetición.
Halla una fórmula general para calcular el número de triángulos blancos, la suma de sus perímetros y la suma de sus áreas en la repetición n.

Ciclo 12/14

Problema nº1 EL TIO PETROS Y SUS PROBLEMAS DE NÚMEROS

El tío Petros es un gran matemático, y además le divierte poner en apuros a su sobrino (1). Los dos juegan todas las semanas a la lotería un número que cada vez escoge Petros por alguna razón especial y que su sobrino tiene que adivinar. Esta semana le ha dicho: “El número que jugamos tiene cuatro cifras y es capicúa, la suma de sus cifras es 16 y si intercambio la cifra de las unidades con la de las decenas, y la de las centenas con los miles, el número sigue siendo capicúa; pero la diferencia entre el primer número y el segundo es 5346”
¿Sabrías decirnos razonadamente qué número juegan esta semana a la lotería Petros y su sobrino?

(1) “EL TIO PETROS Y LA CONJETURA DE GOLDBACH”, Apostolos Doxiadis

Ciclo 12/14
Problema nº2 LA ESTRELLA PITAGÓRICA

La estrella de cinco puntas, también llamada estrella pitagórica, está relacionada con un número muy importante en Matemáticas, el número áureo. Ahora no nos vamos a ocupar de este número pero sí de la estrella. El objetivo del problema es que calcules sus ángulos. Para ello debes calcular previamente la medida del ángulo interior del pentágono regular; puede que a ello te ayude la figura 1. La figura 2 te será útil para resolver el problema que nos ocupa.
Explica lo más claramente posible cómo has llegado a la solución.

Figura 1 Figura 2

Ciclo 12/14
Problema nº3

VI OLIMPIADA MATEMÁTICA PROVINCIAL. 5 MAYO 2007

Ciclo 12-14. Problema 1. Musarañas.

(La musaraña es un pequeño mamífero semejante a un ratón, pero con el
hocico más largo y puntiagudo).
Comen tanto 17 osos como 170 monos; 100.000 musarañas tanto como
50 monos; 4 elefantes comen lo mismo que 10 osos. ¿Cuántas musarañas son
necesarias para acabar con la comida de 12 elefantes?

Ciclo 12-14. Problema 2. Criptoaritmética.

La Criptoaritmética consiste en reemplazar las letras por cifras. La tarea consiste en sustituir cada letra por un dígito (número del 0 al 9), de modo que la operación u operaciones indicadas sean correctas. A igual letra, igual dígito, y a distinta letra, distinto dígito. Como es habitual, los números no pueden tener ceros a la izquierda.
Ahora te toca a ti:
ZOO = TOPAZ
¿ Sabrías calcular el valor de cada letra?

Ciclo 12-14. Problema 3. Pintar y cortar.

Pintamos un cubo de color azul y después lo cortamos en 3 x3x 3 =27 cubitos. ¿Cuántos cubitos tendremos:
* Con una cara pintada.
* Con dos caras pintadas.
* Con tres caras pintadas.
* Sin caras pintadas?
Haz lo mismo con un cubo de 4 x 4 x 4 = 64?cubos. ¿Cuántos cubos tienen
ahora 1, 2, 3 ó ninguna caras pintadas?
Busca una fórmula para hallar el número de caras pintadas en un cubo
de 5 x 5 x 5 y de 10 x 10 x 10

Ciclo 14-16. Problema 1. Área de altura.

De un trapecio isósceles se sabe que sus diagonales son perpendiculares.
a. Demuestra que la altura del trapecio es igual a la semisuma de las bases.
b. Utilizando el resultado anterior calcula la altura de un trapecio isósceles de diagonales perpendiculares y 98 cm2 de área.

Ciclo 14-16. Problema 2. Un portero exigente.

Un cocinero fue a la despensa a por dos huevos, pero debía atravesar tres puertas hasta llegar a ésta, cada una de ellas con un portero. El primer portero le exigió que sacase tantos huevos de manera que le pudiese dar la mitad, y medio huevo más sin necesidad de partir ninguno. Lo hizo así y pasó al segundo portero, que pidió lo mismo que el primero, y lo mismo el tercero. ¿Cuántos huevos sacará para que le queden dos?
¿Y si fueran seis puertas en vez de tres las que hubiera tenido que atravesar para conseguir los dos huevos?
¿Podrías dar una solución general para cualquier número de puertas?

Ciclo 14-16. Problema 3. Tú tiras.

Carmen e Isabel lanzan un dado cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Carmen sea mayor que la de Isabel?